¿CÓMO SABER SI UNA RELACIÓN EN UN SISTEMA CARTESIANO ES FUNCIÓN?

En un gráfico cartesiano una relación es función si al trazar cualquier paralela al eje y ésta corta en un solo punto al gráfico de la relación.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:

Sean A y B subconjuntos no vacíos de números reales. Una función f de A en B, es una función que asigna a cada x del conjunto x del conjunto A un único elemento del conjunto B.

Luego se tiene:

f: A --> B

Cada elemento de x Є A se usa la notación f(x) para indicar los elementos de B que ha sido asignado a x.

Al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B codominio de la función.

f(x) representa la imagen de x a través de la función dada.

En el plano cartesiano, el conjunto A representa los valores del eje x y el conjunto B los valores en el eje y que han sido asignados a través de la función dada. A partir de esto diremos que f(x) = y.

UNA FUNCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Es como una máquina que recibe números reales por la derecha y los entrega por la izquierda. Si la función (o máquina) la denotamos por f y la función transforma a en b. También se dice que b es la imagen de a vía f, en el caso en que la función se subtiende, entonces decimos que b es la imagen de a.

EJERCICIOS RESUELTOS

I .- De acuerdo a la maquina de la figura responde:

a) ¿Qué número saldrá si ingresa un 3?

SOLUCIÓN:

x = 3

x² = 3² = 3 x 3 = 9

b) ¿Qué número saldrá si ingresa un – 4?

x = - 4

x² = (-4)² = (-4)(-4) = 16

c) ¿Qué número debió ingresar a la máquina para que saliera un 9?, ¿ existe otra posibilidad?

X = 3

X² = 3² = 3 x 3 = 9, no existe otra posibilidad. ¿existe otra posibilidad?

X = 0

X² = 0 x 0 = 0 , no existe otra posibilidad.

I.I De acuerdo a la maquina de la figura responde:

a) ¿Qué número saldrá si ingresa un 2?

x = 2

x² + 1 = (2)² + 1 = 5

b) ¿Qué número saldrá si ingresa un -2?

x = -2

x² + 1 = (-2)² + 1 = 5

c) Si finalmente salió un 16 de las máquinas, ¿qué número pudo haber ingresado?, ¿existe otra posibilidad?.

1 + x² = 16 /-1

x² = 16 – 1

x² = 15 / √

x = √15

d) ¿Puede haber salido un – 9 de las máquinas?.¿por qué?

1 + x² = - 9

x² = -9 – 1

x² = (- 10) / √

x = √-10

x = 10i ; no

e) Si sale un 0 finalmente de las máquinas, ¿qué número pudo haber entrado?

1 + x² = 0

x² = 0 – 1

x² = (- 1) / √

x = √- 1

x = -i; no

f) ¿Qué expresión sale de la máquina si ingresa x?

(1 + x² )

I.II Ahora invierte el orden de las máquinas y realiza los problemas anteriores con esta nueva disposición.

a) ¿Qué número saldrá si ingresa un 2?

x = 2

1+ x² = 1+ (2)² = 5

b) ¿Qué número saldrá si ingresa un -2?

x = -2

1 + x² = 1 + (-2)² = 5

c) Si finalmente salió un 16 de las máquinas, ¿qué número pudo haber ingresado?, ¿existe otra posibilidad?.

x² + 1 = 16 /-1

x² = 16 – 1

x² = 15 / √

x = √15

d) ¿Puede haber salido un – 9 de las máquinas?.¿por qué?

1 + x² = - 9

x² = -9 – 1

x² = (- 10) / √

x = √-10

x = 10i ; no

e) Si sale un 0 finalmente de las máquinas, ¿qué número pudo haber entrado?

1 + x² = 0

x² = 0 – 1

x² = (- 1) / √

x = √- 1

x = -i; no

f) ¿Qué expresión sale de la máquina si ingresa x?

(x² + 1)

II Si f: A ---------->; B esta dada por: f(x) = 2x + 1; sabiendo que

A = {1, 2,3} y B = {3, 4, 5, 6,7,8}. ¿Es función? ¿cuáles son las imágenes?

SOLUCIÓN

f(x) = 2x + 1

f(1) = 2(1) + 1 = 3

f(2) = 2(2) + 1 = 5

f(3) = 2(5) + 1 = 7

Por lo tanto, f(x) = 2x + 1, es función, porque todas las imágenes están están en el conjunto B y las imágenes son 3,5, 7.

III.- Si f: R -------> R R = números reales y f(x) = 3x – 2 encuentre:

a) f(- 2) + f (4)

b) f (3) – f(1)

f(2)

SOLUCIÓN

a) f(- 2) + f(4)

f(x) = 3x – 2

f(- 2) = 3 (-2) – 2 = - 8

f(4) = 3 (4) - 2 = 10

Luego f(- 2) + f(4) = - 8 + 10 = 2

b) f (3) – f(1)

f(2)

f(x) = 3x – 2

f(3) = 3(3) – 2 = 7

f(1) = 3(1) – 2 = 1

f(2) = 3(2) – 2 = 4

Luego f (3) – f(1) /f(2) = (7 – 1)/4 = 6/4 = 3/2

IV.- EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si f(x) = 3x – 1 es una función de R en R entonces ¿cuál es el valor de f (- 2)?
   A) 6
   B) – 6
   C) 7
   D) - 7
   E) 0

SOLUCIÓN

f(x) = 3x – 1

f(- 2) = 3( - 2) – 1 = - 7

2. Si f(x) = 3x – 2 una función de R en R determine el valor 2· f(- 1) – f(2) + 5·f(4).
   A) 50
   B) – 14
   C) 36
   D) - 24
   E) 20

SOLUCIÓN

f(x) = 3x – 2

f(- 1) = 3(- 1) – 2 = - 5

f(2) = 3(2) – 2 = 4

f(4) = 3(4) – 2 = 10

2· f(- 1) – f(2) + 5·f(4)

2· (- 5) – (4) + 5 (10)

• 10 – 4 + 50 = + 36