UNA
VARIABLE es un símbolo al que
se le puede asignar un conjunto de valores. Una constante es un símbolo
al que solo se le puede asignar un valor.
Para
representar las variables se emplean las letras finales del alfabeto x, y, z, u,
v, w, y para las constantes se emplean
las primeras, a, b, c.
FUNCIÓN
DE UNA VARIABLE. Una variable y es
función de otra x si existe una relación entre ambas, x e y, de forma que cada
valor de x le corresponda uno, o más de y. En este capítulo, sólo consideramos
números y funciones reales.
Ejemplo 1:
Y = x² - 5x + 2 establece una relación entre las
variables x e y. Cuando x toma los valores x= 0, 1, 2, -1, los correspondientes
de y son: 8, 2, - 2, - 4
Ejemplo 2:
La longitud C de la circunferencia es una función del
radio r dada por la expresión C= 2πr. Las longitudes de las circunferencias
de radios 1, 3, 5 (metros) son, respectivamente: 2π, 6π, 10π (metros).
Ejemplo 3:
La población y de una nación es función del año x. En el
cuadro siguiente representa la población de los Estados Unidos con intervalos
de diez años entre 1880 - 1950.
Cuando a cada valor
de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una función uniforme
de x; en caso contrario, y es una función multiforme de x.
Por consiguiente, en
los Ejemplos 1 y 3 anteriores, y es una función uniforme de x, ya que a cada
valor de x le corresponde uno, y sólo uno, de y. Análogamente, en el ejemplo 2.
C es una función uniforme de r.
Sin embargo, y = ± √x
Es una función
multiforme de x, ya que cada valor cada valor de x le corresponden dos valores
de y (excepto para solución trivial x = 0). Por ejemplo, si x= 4, y es ± 2 si x= 5, y = ± √5 etc.
VARIABLES
INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. La
variable a la que se asignan valores (x en los ejemplos
anteriores) se denomina variable independiente; la variable cuyo valor viene
determinado por el que toma (y en los ejemplos) se llama variable dependiente o
función. Decir que y es función de x equivale a decir que y depende de x.
El conjunto de
valores que puede tomar la variable independiente recibe el nombre de campo de
variación de la variable.
Ejemplo 1:
Y = x² - 5x + 2, x
puede ser cualquier número real.
Ejemplo 2:
C= 2πr, la variable independiente es el radio
r de la circunferencia. El campo de variación de r es el conjunto de todos los
números positivos y el cero.
Ejemplo 3:
La población y de
una nación es función del año x. El campo de variación de x está formado por
los años 1880,…..1950.
La variable independiente
x es el conjunto de los números reales mayores o igual a cero, lo cual se
representa por x ≥ 0.
Ejemplo 4:
En la
función y = ± √x, si se quiere que y siempre real, los valores que se pueden
asignar a la variable independiente x es el conjunto de todos los números
mayores o igual a cero, lo cual se representa por x ≥ 0.
Ejemplo 5:
En la función la variable x puede tomar cualquier valor real excepto x = 1 y x = - 2,
para los cuales la función y no está definida. Por consiguiente, el campo de
variación está constituido por el conjunto de los números reales excepto 1 y –
2.
LA NOTACIÓN FUNCIONAL y = f (x), que se lee “y igual a f de x”, es la que se
utiliza para representar que y es una función de x, Según esta notación, f(a)
significa el valor de la variable dependiente y cuando x = a (siempre que dicho
valor exista).
Así, pues, y = x² - 5x + 2 se puede
escribir f(x) = x² - 5x + 2.
Por tanto, f (2),
que es el valor de f(x) o cuando x = 2, x = - 1 es:
y = x² -
5x + 2
x = 2 y = (2)² - 5(2) + 2 = -4
x = -1 y = (-1)² -
5(-1) + 2 = 8
En la notación funcional se puede
emplear una letra cualquiera; esto es, g(x), h(x), F(x), etc, representan,
asimismo, funciones de x.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. Se utiliza para representar, gráficamente, una relación entre
dos variables.
Sean X -X e Y -Y dos
rectas perpendiculares entre sí que se
cortan en el punto 0-
La recta X – X,
denominada eje x, se sitúa normalmente en posición horizontal.
La recta Y -Y, se
denomina eje y, se sitúa normalmente en posición vertical.
El punto o recibe el
nombre de origen del sistema.
Empleando una unidad
de longitud adecuada se pueden situar sobre el eje x, a la derecha e izquierda
del origen 0, los puntos 1, 2, 3, 4,…. y -1, -2, -3, -4, -5,…., sin más que ir
tomando, sucesivamente, dicha unidad de longitud.
Los ejes x e y dividen al plano en 4
regiones o cuadrantes, denominados I, II, II, IV.
Sea P un punto cualquiera del plano
xy. Trazando desde P las perpendiculares a los ejes x e y, los valores de x e y
de los puntos de intersección de dichas perpendiculares con los ejes
determinan, respectivamente, la coordenada x (abscisa) y la coordenada y
(ordenada) del punto P. Estas coordenadas se representan por el símbolo (x, y).
Recíprocamente,
dadas las coordenadas de un punto, se puede situar éste en el plano x y.
Por
ejemplo, las coordenadas de un punto P, de la figura son (3,2). El punto cuyas
coordenadas son (-2, -3) es Q.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN y = f(x) es el lugar geométrico de los puntos (x,y) que
satisfacen a la ecuación y = f(x).
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. Se dice que una variable z es función de las variables x
e y si existe una relación tal que a cada par de valores de x e y le corresponde uno o más, valores
de z. En este caso, x e y son variables independientes, y z es la variable
dependiente o función.
La notación funcional que se utiliza
es z = f(x, y), que se lee “z igual a f de x”. Entonces, f(a, b) representa el
valor de z cuando x = a e y = b, siempre que la función esté definida para
dichos valores.
Por ejemplo, si:
F (x, y) = x³ + xy²
- 2x; x = 2 y y = 3
F (2, 3) = 2³ + (2) (3)²
- 2(3)
F (2, 3) = 8 + 18 – 6
F (2, 3) = 20
De igual forma se definirían las
funciones de más de dos variables.
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS RESUELTOS
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Son aquellos que
representan una relación entre dos datos obtenidos de observaciones efectuadas
en experimentos científicos, censos, operaciones comerciales, etc.
EJERCICIOS RESUELTOS
No hay comentarios:
Publicar un comentario